Корень: сумма, разность и знак · закрепление 30 из 40, оценка 4
Закрепление: 30 из 40, оценка 4. Произведение, дробь и десятичные уже сходятся. Ломается одно и то же место: под корнем сначала делают действие, и только потом снимают корень. Ответ — не сумма чисел и не сам квадрат.
Это уже получается. √(a·b) и √(a/b) при неотрицательных числах, √0,04 = 0,2, √1,44 = 1,2, √(9/16) = 3/4.
Основное перед уроком
Арифметический корень не бывает отрицательным. √(a²) = |a| — модуль, то есть расстояние от нуля, всегда ≥ 0.
√(a² + b²): сначала a² + b², потом корень. Числа a и b не складывают.
√(a² − b²): сначала a² − b², потом корень. Это не a + b и не a − b.
Удобная запись: a² − b² = (a − b)(a + b). Произведение всё ещё под корнем. Корень с него снимают отдельно.
Проверка: квадрат ответа должен дать число под корнем.
Ошибки — разбираем
1. √(7² + 24²) — ответа не было
Что здесь легко сделать. Сложить 7 и 24 и получить 31. Это не корень из суммы квадратов.
По шагам.
7² = 49
24² = 576
49 + 576 = 625
√625 = 25, потому что 25² = 625
Это готовая тройка 7, 24, 25: как 3, 4, 5 и 5, 12, 13.
Фраза для урока: «Сначала квадраты, потом их сумма, потом корень. 7 и 24 я не складываю.»
2. √(15² − 9²) — ты написал 24
Ты ответил: 24. Это как раз 15 + 9. Сумма вылезла вместо корня.
Прямой счёт.
15² = 225, 9² = 81
225 − 81 = 144
√144 = 12, потому что 12² = 144
Через разность квадратов, чтобы увидеть ловушку.
15² − 9² = (15 − 9)(15 + 9) = 6 · 24
6 · 24 = 144 — это ещё под корнем
√144 = 12
Число 24 здесь множитель. Его нельзя выносить как готовый ответ: корень из 144 не равен 24. Проверка: 24² = 576, а под корнем было 144.
Фраза для урока: «(a − b)(a + b) считаю, и с этого произведения ещё снимаю корень.»
3. √(26² − 24²) — ты написал 50
Ты ответил: 50. Это 26 + 24, та же ловушка, что и с 24.
По шагам.
26² = 676, 24² = 576
676 − 576 = 100
√100 = 10
Через скобки: (26 − 24)(26 + 24) = 2 · 50 = 100. Пятьдесят снова только множитель. √100 = 10, не 50. Проверка: 50² = 2500, а под корнем 100.
Фраза для урока: «Если вижу a + b, это ещё не ответ. Ответ — корень из произведения.»
4. √((−6)²) — ты написал 36
Ты ответил: 36. Это результат скобки, то есть то, что стоит под корнем. Корень с него ещё не снят.
Два разных действия.
Сначала скобка: (−6)² = 36. Минус на минус даёт плюс.
Потом знак корня: √36 = 6.
36 — содержимое корня. Ответ — 6. Корень из 36 не равен 36: иначе получилось бы, что 36² = 36.
Фраза для урока: «Квадрат и корень — два шага. После квадрата я ещё извлекаю корень.»
5. «Чему равно √(a²), если a отрицательное?» — ты написал −a
Ты ответил: −a. Для отрицательного a это число как раз положительное. Пример: a = −6, тогда −a = 6. Путаница в названии, не в знаке.
Как это назвать.
Короткое имя для всех случаев, и для плюса, и для минуса: модуль. √(a²) = |a|.
Модуль — расстояние до нуля, поэтому он не бывает отрицательным.
a = 6: |6| = 6, и −a здесь было бы −6, уже неверно.
a = −6: |−6| = 6, и −a тоже равно 6.
Запись «−a» спасает только отрицательное a. Если a положительное, −a уводит в минус, а корень туда не ходит. Поэтому на уроке говорят «модуль», не «минус a».
Связка с прошлой ошибкой: √((−6)²) = |−6| = 6, не 36 и не −6.
Фраза для урока: «Корень из квадрата — это модуль. Он всегда неотрицательный.»
Проверь себя
√(9² + 12²) = 15, потому что 81 + 144 = 225 и 15² = 225. Не 21.
√(20² − 16²) = 12, потому что 400 − 256 = 144. Число 36 = 20 + 16 — это не ответ.